행렬

행렬은 교환 법칙이 성립 하지 않는다. AB != AB

1. 단위 행렬 - 대각선 성분만 1이고 나머지는 0인 벡터

2. 역행렬 - AA' = A'A = 단위행렬

(모든 행렬에 역행렬이 있는 것은 아니다.)

하지만 모든 아핀행렬(회전, 평행이동,스케일, 층밀림 변환으로만 이뤄진 행렬)은 역행렬이 존재한다.

가우스 소거법이나 LU분해법을 이용하면 역행렬이 존재하는 경우에는 역행렬을 찾을 수있다.

3. 전치 행렬

전치 행렬은 대각선기준으로 행렬을 뒤집어 놓은 것이다. 즉, 원래 행렬의 행은 열이되고 열은 행이 되는 것이다.

 ex) 순수한 회전변환 행렬의 역행렬 = 전치행렬이라 자주 이용된다.

(ABC)t = CtBtAt

4. 동차 좌표

3차원 행렬로 3차원 회전은 표현할 수 있지만 평행이동은 표현할 수 없기에 n+1 행렬로 표현한다.

5. 방향 벡터 변환

동차 좌표에서 점의 w값은 1로 해두고 선의 w값은 0으로 해둔다.

즉, 3차원의 순수 방향 벡트는 4차원 동차 좌표에서는 무한대에 있는 점과 같은 역할을 한다.

6. 기본단위 변환 행렬

  ⓐ 평행 이동 _41, _42, _43

  ⓑ 회전 변환

    - x 축 회전은 _22 = cos, _32 = sin, _23 = -sin, _33 = cos

    - y 축 회전은 _11 = cos, _31 = -sin, _13 = sin, _33 = cos

    - z 측 회전은 _11 = cos, _21 = sin, _12 = -sin, _22 = cos

   * 회전 행렬의 3*3 부분의 1은 항상 회전하는 축에 해당하는 성분에 곱해지고 사인과 코사인은 그렇지 않다.

  * y축에 대한 행렬은 다른 행렬에 비교할 때 전치 행렬 같은 모양을 하고 있다.

  * 회전 변환의 역은 전치 행렬과 같다. cos(-θ) = cos(θ) 이고 sin(-θ) = -sin(θ)이기 따라서 각도의 부호를 바꾸면 사인 값은 위치를 서로 바꾼 것과 같고 코사인 값은 변하지 않는다.

  ⓒ 스케일 변환 _11, _22, _33